【什么是代数几何-图】百科知识点

来源:学大教育    日期:2017-11-23 15:44:55

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【什么是代数几何-图】百科知识点

简介

代数几何是数学的一个分支,是将抽象代数, 特别是交换代数,同几何结合起来。 它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以代数簇为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如,三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。

代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系,如复分析、数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。

发展和内容

用代数的方法研究几何的思想,在继出现解析几何之后,又发展为几何学的另一个分支,这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。

代数几何学的兴起,主要是源于求解一般的多项式方程组,开展了由这种方程组的解答所构成的空间,也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置,同样,对于任何一种代数簇也可以引进坐标,因此,坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。

代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如,阿贝尔在关于椭圆积分的研究中,发现了椭圆函数的双周期性,从而奠定了椭圆曲线理论基础。

黎曼1857年引入并发展了代数函数论,从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上,从而引入了所谓黎曼曲面的概念。运用这个概念,黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量:亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。并首次考虑了亏格g 相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题,并且发现这个参量簇的维数应该是3g-3,虽然黎曼没有能严格证明它的存在性。

在黎曼之后,德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。

从19世纪末开始,出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作,特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础,这些工作中存在不少漏洞和错误,其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。

20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代,扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上,韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论,然后20世纪50年代中期,法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上,并建立了凝聚层的上同调理论,这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础,他在讨论班的讲义《代数几何基础》(EGA,SGA,FGA)成为该领域的圣经。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广,它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取,并允许结构层中存在幂零元。

近年来,人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具,这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

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