【什么是赋范代数-图】百科知识点

来源:学大教育    日期:2017-11-23 13:19:57

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【什么是赋范代数-图】百科知识点

赋范代数,是泛函分析的一个重要分支,研究带有乘法的赋范线性空间的性质及其应用。

设A是赋范线性空间,如果在A上定义了乘法,即对于A中任何两个元素x,y,对应有A中的一个元,称为x与y的乘积,并记为xy。而且乘法具有下列性质:①(xy)z=x(yz),②α(xy)=(αx)y=x(αy),③(x+y)z=xz+yz,z(x+y)=zx+zy,④,则称A是赋范代数。又当A是巴拿赫空间时,A就称为巴拿赫代数。如果对A中任何两个元x,y都成立xy=yx,就称A是交换的。A中元e如果使ex=xe=x对任何x∈A成立,e就称为A的单位元。当A有单位元时,单位元必是惟一的。在有单位元e的赋范代数A中,对元x,如果有y使xy=yx=e,就称y是x的逆元。

在分析学中遇到的许多重要的巴拿赫空间在适当地规定乘法后就成为巴拿赫代数。典型的例子是:实数R上复值勒贝格可积函数全体l1(R)在l1范数下成为巴拿赫空间,如果以卷积作为l1(R)上乘法,那么它成为交换的巴拿赫代数。

巴拿赫代数的概念虽然相当简单,但在调和分析、算子理论、函数代数等许多数学领域中有广泛的应用。由于在巴拿赫代数中除线性运算外还有乘法运算,就能更多地利用代数的方法。实质上,在巴拿赫代数中,代数运算(加法、数乘、乘法)与范数之间有着深刻的内在联系,显示代数方法对分析问题(与极限有关的问题)的研究起着更大的作用。

1939年,И.М.盖尔范德奠定了巴拿赫代数的理论基础。交换巴拿赫代数理论一出现,就在它的初次应用(对三角级数理论中维纳定理的简洁证明) 中显示出巨大威力,迅速吸引了大批数学家的注意。从此,巴拿赫代数理论的研究就蓬勃开展起来。今天,这个理论不仅是分析学中的重要工具,而且它本身也是近代数学研究的一个重要领域。近年来,它在场论中的应用也是令人注目的,它的理论本身综合着函数理论,抽象代数等的技巧,有着丰富的成果。

元素的谱设A是复的有单位元e的巴拿赫代数,x∈A,如果复数λ使λe-x有逆元,就称λ为x的正则点,否则就称λ为x的谱点。x的谱点全体称为x的谱,记为σ(x)。关于元素的谱,盖尔范德得到的主要结论是:任何元x的谱σ(x)是复数域C的非空有界闭集,而且,数称为x的谱半径。

交换巴拿赫代数 在有单位元E的复巴拿赫代数A中对任何元素x∈A,必有λ∈σ(x),这时λe-x是设有逆元的。因此,如果A中任何非零元都有逆元,那么A中任何元x都是e的倍数,即A是个一维空间(盖尔范德-梅休尔定理)。在巴拿赫代数A上的线性泛函ƒ,如果对任何两个元x、y,ƒ(xy)=ƒ(x)ƒ(y)成立,称ƒ是乘性线性泛函,这种泛函必定是连续的。非零的乘性线性泛函ƒ的零空间Mƒ={x|ƒ(x)=0}必是A的闭双侧理想(即Mƒ是A的线性子空间,且对x∈Mƒ,y∈A,xy和yx都在Mƒ中),且A/Mƒ是一维空间,盖尔范德把代数中的理想理论与盖尔范德-梅休尔定理结合起来,证明了下面的结论:设A是交换的有单位元e的复巴拿赫代数,则ƒ凮Mƒ是A上非零乘性线性泛函全体Ω到A的极大理想全体上的双射,而A中任何无逆元的x,必定有含有x的极大理想,从而必有ƒ∈Ω使ƒ(x)=0,因此对任何x∈A,σ(x)={ƒ(x)|ƒ∈Ω},Ω是A*的子集,当A*用弱*拓扑时,Ω是紧集,于是Ω是个紧豪斯多夫空间,拓扑空间Ω称为A的谱空间,对于x∈A,记x(ƒ)=ƒ(x)(ƒ∈Ω),x(·)是Ω上连续函数,也记为悯 ,它称为元x的函数表示(或盖尔范德变换)。xx(·)是A→C(Ω)(Ω上复值连续函数全体)中的代数同态。于是,A就表示为C(Ω) 的一个子代数。|x(·)|的最大值就是x的谱半径。特别,A是半单纯的(即A的所有极大理想的交为{0}),或A中谱半径为0的元只有0,都是使这个表示是一对一的充分而且必要的条件。

作为应用,考虑绝对收敛的三角级数全体,W 中的线性运算及乘法就用函数的通常运算。然而对于,以作为这个元的范数。这样,W 就成为一个交换的有单位元的复巴拿赫代数。恒等于1的函数是W 的单位元。任取t0∈【-π,π】,从W 到复数域C的映射xx(t0)是W上的非零乘性线性泛函,不难证明这是W上非零乘性线性泛函的一般形式,于是对x∈W,。 这样就很快得到著名的维纳定理(它的原始证明是纯函数论的方法);如果x(t)是绝对收敛的三角级数且x(t)≠0(t∈【-π,π】),则也是绝对收敛的三角级数。

函数代数 一类重要的、特殊的交换巴拿赫代数。它与解析函数论、多复变函数论、函数逼近论等有密切关系,是50年代迅速发展起来的一个分支。设Ω是紧豪斯多夫空间,C(Ω)、CR(Ω)分别是Ω上的复值、实值连续函数全体以最大模作为范数,C(Ω)、CR(Ω)都是交换的巴拿赫代数。设A是C(Ω)的闭子代数,如果A含有常数函数,且分离Ω中点(即对Ω中不同的点ω1,ω2,必有ƒ∈A使得),称A是Ω上函数代数。例如Ω是n维复空间Cn的紧集,P(Ω)、R(Ω)、A(Ω)分别是多项式、有理函数、Ω上连续且在Ω内部解析函数全体所生成的C(Ω)的闭子代数,这些都是很重要的函数代数。函数代数A如果使{Reƒ|ƒ∈A}生成的闭子代数是CR(Ω),称A是狄利克雷代数,它是又一种重要的函数代数。人们在一般巴拿赫代数观念下,通过对这些具体代数的研究,不仅能把函数论中许多重要结果简化证明或加以推广,而且还能获得新的结果,提出新的课题,从而促进了函数论的发展。

对称巴拿赫代数如果在巴拿赫代数A中还有对合运算*:xx*,它具有下列性质:①(x*)*=x,②,③,这时称A为有对合的巴拿赫代数或巴拿赫*代数。如果对合还使得,A就称为对称巴拿赫代数。研究这种代数的重要工具是正线性泛函(即对任何x∈A成立ƒ(x*x)≥0,的A上线性泛函ƒ)。从正泛函可以得到对称巴拿赫代数的*表示。群代数是对称巴拿赫代数的一个典型例子。设G是局部紧的拓扑群,μ是G上的(左不变)哈尔测度,则G上关于μ可积的函数全体l1(G,μ)是对称巴拿赫代数。l1(G,μ)再加上单位元后的代数称为G的群代数。利用正泛函可以证明群代数的不可约*表示是完全的。当G是交换的局部紧群时,G的群代数是交换的对称巴拿赫代数。通过傅里叶变换可以证明,群代数的谱空间Ω与G的特征群弿 同胚,并且l2(G)与l2(弿)同构。由此可以得到庞特里亚金对偶性定理的一个简单的分析和证明。

C*代数  如果巴拿赫代数A有对合运算*,并且对合使得,则称A是C*代数。

紧豪斯多夫空间Ω上复值连续函数全体C(Ω),以取复数共轭作为对合时是有单位元的交换C*代数。复希尔伯特空间H上线性有界算子全体B(H),以取算子的共轭运算作为对合时是有单位元的C*代数,当h的维数≥2时,B(H)不是交换的。这些都是C*代数的典型例子。

如果A是有单位元的复交换C*代数,Ω是A的谱空间,则盖尔范德变换xx(·)是A到C(Ω)上的完全同构,即xx(·)是保持对合及范数的代数同构。

态与GNS构造C*代数理论中最重要的部分。设A是有单位元e的复C*代数,在e上取值为1的A上正线性泛函ƒ称为A上的态。当ƒ是A上的态时,是A的左理想。在A/gƒ上定义内积,完备化后得到的希尔伯特空间为hƒ。对于x∈A,令

,Πƒ(x)是A/gƒ上的有界线性算子,它可惟一地开拓为hƒ上的有界线性算子,仍记为Πƒ(x)。这时,A到B(Hƒ)的映射Πƒ:xΠƒ(x)不仅是线性的,而且保持乘法和对合。{Πƒ,hƒ}是A的*表示,或者说Πƒ是A在希尔伯特空间Hƒ上的*表示,而且Hƒ中有单位向量捳使,式中右边是希尔伯特空间中的内积。以上就是著名的GNS构造。用它可以证明:对任何复C*代数A,必存在复希尔伯特空间h,使得A完全同构于B(h)的某个闭*子代数。上面两个关于完全同构的定理都称为盖尔范德-奈伊玛克定理。GNS构造有着重要的物理意义:如果C*代数相应于量子系统的观察量代数,那么C*代数的态就是量子系统的状态,公式是观察量x在状态ƒ中的期望值。这是通常量子理论中所熟知的。C*代数在抽象调和分析、量子物理等领域中也有重要的应用。

冯·诺伊曼代数 一类由希尔伯特空间上的有界线性算子组成的代数。设h是复希尔伯特空间,在B(h)(h上有界线性算子全体)中,除了算子范数所导出的拓扑外,常用的有强(弱)算子拓扑。记,由{px(·)}(x∈h)({qx,y(·)}(x,y∈h))导出的B(h)的拓扑称为B(h)的强(弱)算子拓扑。B(h)中包含恒等算子I的弱闭(即按弱算子拓扑为闭的)*子代数称为冯·诺伊曼代数。这个定义中的“弱闭”换成“强闭”是一样的。

J.冯·诺伊曼为了把20世纪20年代由(A.)E.诺特与E.阿廷所发展的非交换环理论推广到希尔伯特空间的情形。他引进了算子环的概念。从此一个新的重要的数学领域诞生了,它先于巴拿赫代数的理论。后来为纪念这一数学理论的奠基者,将他的算子环称为冯·诺伊曼代数。

交换子和二次交换子定理 设M 嶅B(h),与M 中任何算子可交换的算子全体称为M 的交换子,记为M1。冯·诺伊曼的第一个结果是二次交换子定理:如果U是冯·诺伊曼代数,那么U=U″。由此,对任何M 嶅B(h),包含M 的最小冯·诺伊曼代数等于(M ∪M*)"(这里)。这个定理给予冯·诺伊曼代数一个代数的等价定义:B(h)中满足U=U"的*子代数称为冯·诺伊曼代数。这是冯·诺伊曼研究算子环的主要工具之一。

因子分类 又称维数理论。若U是冯·诺伊曼代数,U∩U′称为U的中心,中心为{αI|α∈C}的冯·诺伊曼代数称为因子。30年代到40年代,冯·诺伊曼和F.J.默里合作,对冯·诺伊曼代数进行了深入的研究,提出了约化理论。指出冯·诺伊曼代数可以表达为因子的连续直接和(积分)。这样,对冯·诺伊曼代数的研究可以归结为对因子的研究。类似于经典的非交换代数理论,研究冯·诺伊曼代数U的主要工具是U中的幂等自共轭元,即希尔伯特空间上的正交投影。而问题的复杂性在于,因子中可以没有极小的非零投影。冯·诺伊曼和默里指出,因子U中的两个投影P1和P2还是可以比较“大小”的。如果U中有部分等距算子V把P1h等距地变成P2h的闭子空间且V在(P1h)寑上为0,就称P1比P2小。这种在U的投影全体中所引入的大小顺序关系也可以用维数函数来描述。即对U中的每个投影给以一个非负实数或∞,它可以刻画投影的大小,在可能相差一个常数倍的意义下,维数函数是惟一的。维数函数的值域只可能有五种情形:①{0,1,2,…,n};②{0,1,2,…,n,…,∞};③【0,1】;④[0,∞];⑤{0,∞}。根据维数函数值域的情况,因子分别称为Ⅰn型、Ⅰ∞型、Ⅱ1型、Ⅱ∞型及Ⅲ型的。前两种因子又统称为Ⅰ型的。其后的两种统称为 Ⅱ型的。Ⅰn型因子必定完全同构于B(hn),其中hn是n维希尔伯特空间。Ⅰ∞型因子必完全同构于B(H∞),其中H∞是某个无限维希尔伯特空间。Ⅰ型因子就是有极小非零投影的因子。设P是因子U中的投影,如果U中没有P的真子投影P0使P比P0小,P就称为U的有限投影。Ⅱ型因子就是没有极小非零投影但有非零有限投影的因子。

在Ⅰ型因子中,维数函数相当于投影的值域的维数,而Ⅱ型因子就好像其中投影的值域能够连续地变化。冯·诺伊曼和默雷又用群测度空间构造的办法(现在已成为标准的途径),指出上述各种类型的因子都确实存在。他们又研究了所谓超有限的Ⅱ1型因子,即可以用有限维因子任意逼近的因子,证明了在完全同构的意义下这种因子是惟一的;并作出了两个不完全同构的 Ⅱ1型因子。后来,陆续地又有人构造出相互不完全同构的 Ⅱ1型及Ⅱ∞型的因子。1967年,R.T.鲍尔斯受量子场论的启发,证明了在无限维可分希尔伯特空间中,存在不可数个(连续统)相互不完全同构的Ⅲ型因子。随后,不可数个(连续统)相互不完全同构的 Ⅱ1型因子及Ⅱ∞型因子也被人构造出来。这说明用维数理论所作的因子分类是很不完全的。在鲍尔斯发现互不同构的因子族后,H.阿拉基和E.J.伍兹提出了两个不变量来分析有限维因子的无限张量积。1973年,A.孔涅发现这些不变量的简单公式。并进而对冯·诺伊曼代数U引进了两个不变量。孔涅用他引进的不变量对Ⅲ型因子作了更细致的分类,提出了Ⅲλ型因子的概念,其中λ∈[0,1]。这种因子都是Ⅲ型因子,而且每个Ⅲ型因子必是某个Ⅲλ型因子。孔涅的理论使冯·诺伊曼和默雷在30年代作出而以后一直处于停滞不前状态的因子分类理论获得重要的发展,因而得到数学界的重视。

W*代数  如果A是个C*代数,而且A又可作为某个巴拿赫空间的共轭空间, 就称A是W*代数。冯·诺伊曼代数必是W*代数,1956年证明:W*代数必与某希尔伯特空间的一个冯·诺伊曼代数同构。

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