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【什么是外微分形式-图】百科知识点

来源:学大教育     时间:2017-11-23 15:47:16


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【什么是外微分形式-图】百科知识点

又称微分形式,是微分流形上定义的反对称协变张量场。为了在流形上引进积分理论,必须推广"被积函数"的概念。例如,平面上沿曲线C的曲线积分可理解为一个一次外微分形式pdx+Qdy在C上的积分。类似地,空间的曲面积分和体积分可理解为二次和三次外微分形式的积分。

外微分形式理论与方法是研究近代微分几何的重要工具,它在数学的其他分支以及物理、力学中也有广泛的应用。

数学定义 设M是微分流形,T*M是它的余切丛,作它的p次反对称张量积丛∧pT*M,那么,该丛的一个截面称为p次外微分形式(简称p形式)。设x是M上任意一点,在它近旁引进局部坐标系(x1,x2,…,xn),那么,在x点的余切空间T懜M中可取基dx1,dx2,…,dxn。对任何由所张成的线性空间就是∧pT懜M,在中对换一个次序就改变一次符号。这样,p形式ω在局部坐标系下可表示为式中是p阶反对称张量场。如果在此式中不是反对称的,或者i1,i2,…,ip不依大小次序排列,仍然可以利用的反对称性而把它改写成为标准形式。

一般地,设E是M上的向量丛,那么∧pT*M与E作张量积丛∧pT*M圱E,它的任一截面称为取值于E的向量值微分形式。

外微分形式的运算 任一p形式,它在流形上每点作为余切空间反对称张量积空间的元素自然可引进向量空间的运算,由此得到p形式的加法运算以及p形式与函数的相乘运算,其结果仍是p形式。此外还可引进下列的外积运算:设分别是p形式与q形式。那么ω∧σ为(p+q)形式,定义为这样,对所有r形式(r=1,2,…,n)作它们的直和,记为∧T*M,它在流形M上的每一点x构成外代数(格拉斯曼代数)。

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