【什么是拓扑群-图】百科知识点

来源:学大教育    日期:2017-11-23 16:33:36

数学学习中大家会遇到很多数学名词,掌握这些名词的相关知识点对大家学好数学是很有帮助的,为此下面学大教育为大家带来【什么是拓扑群-图】百科知识点,希望大家能够记忆好这些知识点。

【什么是拓扑群-图】百科知识点

正文

设G是拓扑空间,又是一个群,而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的,即从拓扑空间G×G到拓扑空间G上的映射m∶(x,y)→x·y及从G到G上的映射ƒ:x→x 都是连续映射,则称G为拓扑群。如果G作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的,则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如,n维欧氏空间中所有向量所成的加群,再加上通常的拓扑,就是一个交换拓扑群;实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群GL(n,R),再加上通常的拓扑,是一个局部紧拓扑群;而所有行列式为1的正交矩阵所成的群SO(n,R)是一个紧连通拓扑群。

从拓扑群G到拓扑群H内的映射ƒ:G→H,如果作为群结构它是群同态,作为拓扑空间的映射它是连续的,那么ƒ称为从拓扑群G到拓扑群H的同态,简称同态。如果同态ƒ是双射, 而且逆映射ƒ也是连续的,那么ƒ称为拓扑群G到拓扑群H上的同构映射,简称“同构”。拓扑群全体带上拓扑群间的同态,构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。

在数学中,拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起,人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群,往往不必考虑作变换群,而只需研究这些群本身,于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。

结构

拓扑群的结构是比较均匀的,一点邻近的性质可以反映其他点邻近的性质。设G为群,

(x)的共轭。

所谓完备性,是指如果Ω表示紧群G的所有不可约表示中所出现的连续函数gij(x)全体,那么G上任一连续函数都可用Ω中函数的线性组合来逼近。这就是著名的彼得-外尔定理。

在拓扑群中研究得最多的是局部欧氏群。当拓扑群G的某一点有邻域同胚于欧氏空间的开集,则G称为局部欧氏群。许多数学家在研究希尔伯特第 5问题即是否每一个局部欧氏群都是李群时作出了贡献。Л.C.庞特里亚金于1934年解决了交换群的情况,冯·诺伊曼解决了紧群的情况,D.蒙哥马利和L.齐平证明了任一局部连通的有限维的局部紧群是李群,从而肯定了D.希尔伯特的猜测。

拓扑群的理论是李群的基础。李群在数学的许多方面有广泛的联系,在物理学中有大量的应用。

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